Question

已知在直角坐标系xoy中，直线l过点P（1，-5），且倾斜角为

π

3

，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为(4，

π

2

)．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直线l过点P（1，-5），且倾斜角为

π

3

，即可写出直线l的参数方程；求得圆心坐标，可得圆的直角坐标方程，利用

x2+y2=ρ2 y=ρsinθ

，可得圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；
（Ⅱ）求出直线l的普通方程，可得圆心到直线的距离，与半径比较，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，-5），且倾斜角为

π

3

，
∴直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-5+ 3 2 t

（t为参数）
∵半径为4的圆C的圆心的极坐标为(4，

π

2

)，
∴圆心坐标为（0，4），圆的直角坐标方程为x²+（y-4）²=16
∵

x2+y2=ρ2 y=ρsinθ

，
∴圆的极坐标方程为ρ=8sinθ；
（Ⅱ）直线l的普通方程为

3

x-y-5-

3

=0，
∴圆心到直线的距离为d=

9+ 3

3+1

=

9+ 3

2

＞4
∴直线l和圆C相离．

点评：本题考查直线的参数方程，考查圆的极坐标方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．