Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函数．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用奇函数定义f（x）=-f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；
（Ⅱ）设x₁＜x₂然后确定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据单调函数的定义得到函数f（x）的单调性；
（III）结合单调性和奇函数的性质把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即

b-1

2+2

=0?b=1，
∴f(x)=

1-2x

2+2x+1

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
设x₁＜x₂则f（x₁）-f（x₂）=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

因为函数y=2^x在R上是增函数且x₁＜x₂∴f（x₁）-f（x₂）=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
从而判别式 △=4+12k＜0?k＜-

1

3

．
所以k的取值范围是k＜-

1

3

．

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．