题目内容

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）=1，
（1）求证：f（1）=0；
（2）求f（ $数学公式$ ）；
（3）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

解：（1）证明：令x=4，y=1，则f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
（2）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（1）=f（ $\text{[math]}$ ×16）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（16）=0，
故f（ $\text{[math]}$ ）=-2．
（3）设x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（ $\text{[math]}$ ）＞0，
∴f（x₁）=f（ $\text{[math]}$ ×x₂）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴ $\text{[math]}$ ?3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}．
分析：（1）根据对任意的正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；
（2）令x=4，y=4，代入求得f（16），而f（1）=f（ $\text{[math]}$ ×16）=f（ $\text{[math]}$ ）+f（16）=0，即可求得f（ $\text{[math]}$ ）的值；
（3）根据当x＞1时，f（x）＞0，判断函数的单调性，把f（x）+f（x-3）≤1化为f[x（x-3）]≤1=f（4），根据单调性，去掉对应法则f，解不等式．
点评：此题是个中档题题，考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．解决抽象函数的问题一般应用赋值法．

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已知函数f（x）=log₃

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=

f(ξi)△x中ξ_i的选取是任意的，且I_n仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x²+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

已知函数f（x）=sin（2x-

），g（x）=sin（2x+

），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．