题目内容

以O为原点，
OF
所在直线为x轴，建立直角坐标系．设
OF
•
FG
=1，点F的坐标为（t，0），t∈[3，+∞）．点G的坐标为（x0，y0）．
（1）求x0关于t的函数x0=f（t）的表达式，并判断函数f（x）的单调性．
（2）设△OFG的面积S=
31
6
t，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当|
OG
|取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0，
9
2
)，C，D是椭圆上的两点，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求实数λ的取值范围．
（1）由题意得：
OF
=（t，0），
OG
=（x0，y0），
FG
═（x0-t，y0），
则：
OF
•
FG
=t(x0-t)=1，解得：x0=f(t)=t+
1
t

所以f（t）在t∈[3，+∞）上单调递增．
（2）由S=
1
2
|
OF
|•|y0|=
1
2
|y0|•t=
31
6
t得y0=±
31
3
，
点G的坐标为（t+
1
t
，±
31
3
），|
OG
|2=(t+
1
t
)2+
31
9

当t=3时，|
OG
|取得最小值，此时点F，G的坐标为（3，0）、（
10
3
，±
31
3
）
由题意设椭圆的方程为
100
9(b2+9)
+
31
9b2
=1，又点G在椭圆上，
解得b2=9或b2=-
31
9
（舍）故所求的椭圆方程为
x2
18
+
y2
9
=1
（3）设C，D的坐标分别为（x，y）、（m，n）
则
PC
=（x，y-
9
2
），
PD
=（m，n-
9
2
）由
PC
=λ
PD
得（x，y-
9
2
）=λ=（m，n-
9
2
），
∴x=λm，y=λn-
9
2
λ+
9
2

又点C，D在椭圆上
x2
18
+
y2
9
=1 
λ2m2
18
+
(λn-
9
2
λ+
9
2
)2
9
=1
消去m得n=
13λ-5
4λ
   
|n|≤3，∴|
13λ-5
4λ
|≤3解得
1
5
≤λ≤5
又∵λ≠1
∴实数λ的范围是[
1
5
，1）∪（1，5]
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•
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（2）设△OFG的面积S=
31
6
t，若O以为中心，F，为焦点的椭圆经过点G，求当|
OG
|取最小值时椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为(0，
9
2
)，C，D是椭圆上的两点，
PC
=λ
PD
(λ≠1)，求实数λ的取值范围．

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