Question

已知函数f(x)=sin(ωx+

π

6

)+

3

cos(ωx+

π

6

)(ω＞0)，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（I）利用两角和的正弦公式将函数f（x）化简，由函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

知f（x）的周期为π，利用用三角函数的周期公式得到ω的值，得到f（x）的表达式；
（II）按照图象的变换，得到函数g（x）的解析式，令整体角

x

2

-

π

3

在余弦的单调区间上，求出x的范围，写出区间形式即为g（x）的单调递减区间．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sin(ωx+

π

6

+

π

3

)=2sin(ωx+

π

2

)=2cosωx．…（3分）
由题意得

2π

ω

=2•

π

2

，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．…（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移

π

6

个单位后，得到f(x-

π

6

)的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f(

x

4

-

π

6

)的图象．

所以g(x)=f( x 4 - π 6 )=2cos[2( x 4 - π 6 )]=2cos( x 2 - π 3 ).

…（9分）
当2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），
即4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

（k∈Z）时，g（x）单调递减．
因此g（x）的单调递减区间为[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]（k∈Z）．…（12分）

点评：本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式，考查了由三角函数的部分图象的性质求解函数的解析式，还考查了三角函数的性质的应用．