题目内容

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数 $数学公式$ 满足 $数学公式$ =1，求证： $数学公式$ ≥-n．

（1）解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）．于是 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 是减函数，
当 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 是增函数．
所以 $\text{[math]}$ 时取得最小值， $\text{[math]}$ ，
（2）用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，由（1）知命题成立．
（ii）假定当n=k时命题成立，即若正数 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ．
当n=k+1时，若正数 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ 为正数，且 $\text{[math]}$ ．
由归纳假定知 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ +lnx）≥x（-k）+xlnx，①
同理，由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ≥（1-x）（-k）+（1-x）n（1-x）．②
综合①、②两式 $\text{[math]}$ ≥[x+（1-x）]（-k）+xlnx+（1-x）ln（1-x）
≥-（k+1）．
即当n=k+1时命题也成立．
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立．
分析：（1）先求导函数，进而得导数为0的点，根据函数的定义域确定函数的单调性，从而可确定函数f（x）的最小值；
（2）利用数学归纳法进行证明，关键是第二步的证明：假定当n=k时命题成立，即若正数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
再证明 n=k+1时，需利用归纳假设，从而得证．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查不等式的证明，注意数学归纳法的证题步骤．