题目内容

已知数列{an}满足a1=
7
6
，Sn是{an}的前n项和，点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
1
2
x+
1
3
的图象上，数列{bn}中，b1=1，且
bn+1
bn
=
n
n+1
 （n∈N*）．
（1）证明数列{an-
2
3
}是等比数列；
（2）分别求数列{an}和{bn}的通项公式an和bn；
（3）若cn=
an-
2
3
bn
，Tn为数列{cn}的前n项和，n∈N*，求Tn并比较Tn与1的大小（只需写出结果，不要求证明）．
分析：（1）由点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
1
2
x+
1
3
的图象上，知Sn+1-Sn=
1
2
an+
1
3
，故an+1=
1
2
an+
1
3
，由此能够证明数列{an-
2
3
}是等比数列．
（2）由an-
2
3
=(a1-
2
3
)(
1
2
)n-1，得an=
2
3
+(
1
2
)n，由
bn+1
bn
=
n
n+1
，知
b2
b1
=
1
2
，
b3
b2
=
2
3
，
b4
b3
=
3
4
．由此能求出数列{an}和{bn}的通项公式an和bn．
（3）cn=
an-
2
3
bn
=
(
1
2
)n
1
n
=n•(
1
2
)n，Tn=1×
1
2
+2×(
1
2
)2+…+n×(
1
2
)n，由错位相减法求得Tn=2-
2+n
2n
，由此能够比较比较Tn与1的大小．
解答：解：（1）∵点（2Sn+an，Sn+1）在f（x）=
1
2
x+
1
3
的图象上
∴Sn+1=
1
2
(2Sn+an)+
1
3
，
即Sn+1-Sn=
1
2
an+
1
3
，
an+1=
1
2
an+
1
3
，
即an+1-
2
3
=
1
2
(an-
2
3
)，
∴a1-
2
3
=
1
2
≠0，
∴数列{an-
2
3
}是等比数列．
（2）由（1）知，an-
2
3
=(a1-
2
3
)(
1
2
)n-1，
得an=
2
3
+(
1
2
)n，
∵
bn+1
bn
=
n
n+1
，
∴
b2
b1
=
1
2
，
b3
b2
=
2
3
，
b4
b3
=
3
4
，…，
bn
bn-1
=
n-1
n
，
∴
bn
b1
=
1
2
×
2
3
×
3
4
×…×
n-1
n
=
1
n
，
即bn=
1
n
b1=
1
n
（n≥2）．
又∵b1=1，∴bn=
1
n
．
（3）cn=
an-
2
3
bn
=
(
1
2
)n
1
n
=n•(
1
2
)n，
Tn=1×
1
2
+2×(
1
2
)2+…+n×(
1
2
)n，①
1
2
Tn=1×(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-n•(
1
2
)n+1，②
①-②得：
1
2
Tn=
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-n(
1
2
) n+1，
1
2
Tn=
1
2
(1-
1
2 n
)
1-
1
2
-n(
1
2
)n+1，
1
2
Tn=1-
1
2 n
-n(
1
2
)n+1，
Tn=2-
2+n
2n
，
Tn-1=1-
2+n
2n
，
n=1时，Tn-1＜0，即Tn＜1，
n=2时，Tn-1=0，即Tn=1，
n≥3时，Tn-1＞0，即Tn＞1．
点评：本题考查等比数列的证明、数列通项公式的求法和数列前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的递推式的灵活应用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．

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