Question

已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的方程.

Answer 1

解:设抛物线的方程为y²=2px(p＞0),根据点在抛物线上可得.

解之得p=2.

故所求抛物线方程为y²=4x,抛物线准线方程为x=-1.

又双曲线的左焦点在抛物线的准线上,

∴c=1,即a²+b²=1.故双曲线方程为.

又点在双曲线上,

∴.解得,

同时,因此所求双曲线的方程为.

启示:(1)两条曲线的方程受相互条件的制约,交点的坐标满足两条曲线的方程.

(2)用待定系数法解决问题是常用的求轨迹方程的方法.

(3)当已知双曲线的c或e时,设方程应该用一个字母(如a)表示.