Question

已知函数f(x)=x+

a

x

，且f（1）=3．
（1）求a的值，并确定函数f（x）的定义域；
（2）用定义研究函数f（x）在（0，+∞）范围内的单调性；
（3）当x∈[-4，-1]时，求出函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）及f（1）=3，求得a的值以及f（x）的定义域；
（2）用单调性的定义判定出f（x）在（0，+∞）内的单调性；
（3）由（2）及f（x）是奇函数得出f（x）在[-4，-

2

]和[-

2

，-1]上的单调性，求出f（x）的最大、最小值即可．

解答：解：（1）∵函数f(x)=x+

a

x

，且f（1）=3；
∴1+a=3，得a=2；
∴f（x）=x+

2

x

，
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）任取0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

2

x1

）-（x₂+

2

x2

）
=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

2

x1x2

）
=（x₁-x₂）

x1x2-2

x1x2

，
∵x₁-x₂＜0，且x₁x₂＞0；
∴当0＜x1＜x2＜

2

时，f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），f（x）是减函数；
当

2

＜x1＜x2时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），f（x）是增函数；
∴函数f（x）在(0，

2

)上是单调减函数，在(

2

，+∞)上是单调增函数；
（3）由（2）及f（x）是奇函数知，
函数f（x）在[-4，-

2

]上是增函数，在[-

2

，-1]上是减函数，
故当x∈[-4，-1]时，f(x)max=f(-

2

)=-2

2

，f(x)min={f(-4)，f(-1)}={-

9

2

，-3}=-

9

2

，
∴当x∈[-4，-1]时，f（x）的取值范围是[-

9

2

，-2

2

]．

点评：本题考查了函数的定义域、单调性与奇偶性等问题，是综合题．