Question

（2006•蚌埠二模）已知函数f（x）=-acos2x-

3

asin2x+2a+b，（a＞0）在x∈[0，

π

2

]时，有f（x）的值域为[-5，1]．
（1）求a，b的值；
（2）说明函数y=f（x）的图象可以由y=cos2x的图象经过怎样的变换得到；
（3）若g（t）=at²+bt-3，t∈[-1，0]，求g（t）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由两角差的余弦公式化简函数解析式，由x的范围求出“2x-

π

3

”，再由余弦函数的性质求出对应余弦值的范围，再由a的符号和函数的最值列出方程组，求出a和b；
（2）由（1）求出函数的解析式，根据图象平移法则写出平移和变换的过程；
（3）由（1）求出函数的解析式，并进行配方，再由二次函数的单调性，判断出在[-1，0]上的单调性，再由函数的最小值．

解答：解：（1）由题意得，
f(x)=-acos2x-

3

asin2x+2a+b=-2acos(2x-

π

3

)+2a+b，
由0≤x≤

π

2

得，-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
则-

1

2

≤cos(2x-

π

3

)≤1，
又∵a＞0，
∴

f(x)max=3a+b=1 f(x)min=b=-5

，解得

a=2 b=-5

，
（2）由（1）知，
f(x)=-4cos(2x-

π

3

)-1=4cos(2x+

2π

3

)-1，
∴由y=cos2x的图象先向左平移

π

3

个单位，然后横坐标不变、纵坐标变为原来的4倍，
再向下平移1个单位，即可得到函数y=f（x）的图象．
（3）由（1）知，
g(t)=2t2-5t-3=2(t-

5

4

)2-

49

8

，
∴当t∈[-1，0]时，g（t）单调递减，
∴g（t）_min=g（0）=-3．

点评：本题主要考查了余弦函数的性质，三角函数图象的平移变换法则，以及两角差的余弦公式，二次函数的单调性等，比较综合，但是难度不大．