Question

已知函数f（x）=ax²-2bx+a（a，b∈R）
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，求方程f（x）=0恰有两个不相等实根的概率；
（2）若b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）先确定a、b取值的所有情况得到共有16种情况，又因为方程有两个不相等的根，所以根的判别式大于零得到a＞b，而a＞b占6种情况，所以方程f（x）=0有两个不相等实根的概率P=0.5；
（2）由a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数得试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0没有实根构成的区域为M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分别求出两个区域面积即可得到概率．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2，3}中任一元素，
b取集合{0，1，2，3}中任一元素
∴a、b的取值情况的基本事件总数为16．
设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A，
当a≥0，b≥0时方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为b＞a，且a≠0．
当b＞a时，a的取值有（1，2）（1，3）（2，3）
即A包含的基本事件数为3．
∴方程f（x）=0有两个不相等的实根的概率P（A）=

3

16

；
（2）∵b从区间[0，2]中任取一个数，a从区间[0，3]中任取一个数
则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3}这是一个矩形区域，其面积S_Ω=2×3=6
设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，
则事件B构成的区域为M={（a，b）|0≤b≤2，0≤a≤3，a＞b}，
其面积S_M=6-

1

2

×2×2=4，
由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率P（B）=

S   M

SΩ

=

4

6

=

2

3

．

点评：本题以一元二次方程的根为载体，考查古典概型和几何概型，属基础题．