Question

对一切正整数n，不等式

2x-1

x

＞

n

n+1

恒成立，则实数x的取值范围是

（-∞，0）∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：确定右边对应函数的值域，将恒成立问题转化为具体不等式，即可求得x的取值范围．

解答：解：考查y=

n

n+1

=1-

1

n+1

，一切正整数n，函数为单调增函数，∴1＞y≥

1

2

∵对一切正整数n，不等式

2x-1

x

＞

n

n+1

恒成立，
∴

2x-1

x

≥1
∴

x-1

x

≥0
∴x＜0或x≥1
∴实数x的取值范围是（-∞，0）∪[1，+∞）
故答案为：（-∞，0）∪[1，+∞）

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的值域，解题的关键是确定右边对应函数的值域，属于中档题．