Question

已知幂函数f(x)=xm2-4m（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数
（1）求m的值和函数f（x）的解析式
（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1-2x）．

Answer 1

分析：（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．
（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）幂函数f(x)=xm2-4m（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，
所以，m²-4m＜0，解得0＜m＜4，
因为m∈Z，所以m=2；
函数的解析式为：f（x）=x^-4．
（2）不等式f（x+2）＜f（1-2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，
所以|1-2x|＜|x+2|，解得x∈(-

1

3

，3)，
又因为1-2x≠0，x+2≠0
所以x∈(-

1

3

，

1

2

) ∪(

1

2

，3)，

点评：本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用．