Question

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则f(

9

2

)的值是（　　）

• A．

  5

  2

• B．1
• C．

  1

  2

• D．0

Answer 1

分析：由xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，选用递推的方法，用赋值法依次求出f（

1

2

）=0，f（

3

2

），f（

5

2

），f（

7

2

），f（

9

2

），从而得到答案．

解答：解：∵对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），
∴令x=-

1

2

，则有-

1

2

f（-

1

2

+1）=（1-

1

2

）f（-

1

2

），即f（-

1

2

）=-f（

1

2

）①，
又∵函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，
∴f（-

1

2

）=f（

1

2

）②，
∴由①②得f（

1

2

）=0，
再令x=

1

2

，则有f（

3

2

）=0，
令x=

3

2

，则有f（

5

2

）=0，
令x=

5

2

，则有f（

7

2

）=0，
令x=

7

2

，则有f（

9

2

）=0．
故选：D．

点评：本题主要考查抽象函数用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．解题中要注意函数奇偶性的应用．属于基础题．