Question

设函数f(x)=cos(2x-

π

3

)-2sin2x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且f(B)=

1

2

．b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）的解析式利用两角差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简，结果化为一个角的正弦函数，利用周期公式T=

2π

λ

即可求出f（x）的周期，根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）把x=B代入（Ⅰ）化简得到的f（x）中，让其值等于

1

2

，根据角B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由sinB，b及c的值，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出C的度数，分别根据直角三角形和等腰三角形的性质即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)-2sin2x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-（1-cos2x）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x-1=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）-1
=

3

sin（2x+

π

3

）-1，
∴T=

2π

2

=π，
∵正弦函数的递增区间为：[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

时，函数f（x）单调递增，
则函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]   (k∈Z)；
（Ⅱ）∵B∈(0，π)，f(B)=

1

2

，即

3

sin（2B+

π

3

）-1=

1

2

，
∴sin（2B+

π

3

）=

3

2

，
∴2B+

π

3

=

2π

3

或2B+

π

3

=

π

3

（舍去），
∴B=

π

6

，即sinB=

1

2

，又b=1，c=

3

，
由正弦定理得：sinC=

1 2 × 3

1

=

3

2

，又C∈（0，π），
∴C=

π

3

或

2π

3

，
当C=

π

3

时，由B=

π

6

得到A=

π

2

，即三角形为直角三角形，
由b=1，c=

3

，根据勾股定理得：a=2；
当C=

2π

3

时，由B=

π

6

得到A=

π

6

，即三角形为等腰三角形，
则a=b=1，
综上，a的值为2或1．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的周期及值域，正弦定理及特殊角的三角函数值．求函数周期的方法是将函数利用三角函数的恒等变形化为一个角的三角函数，然后利用周期公式T=

2π

λ

求出函数的周期；学生在第二问求角C度数时，注意两种情况的考虑．