Question

（12分）已知函数 (R)．

(Ⅰ)  当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为. 

（Ⅱ），a的取值范围是

【解析】解：（Ⅰ）当时，，

∴.                     

       令=0, 得 .                                …… 2分                   

当时,, 则在上单调递增;

当时,, 则在上单调递减;

当时,, 在上单调递增.                 …… 4分   

∴ 当时, 取得极大值为;

当时, 取得极小值为.     …… 6分

（Ⅱ） ∵ = ，∴△= =  .                             

① 若a≥1，则△≤0，                                      …… 7分

∴≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .                                                   

∵f（0），,                   

∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．    …… 8分 

② 若a＜1，则△＞0，∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x₁，x₂，（x₁<x₂）．

∴x₁+x₂ = 2，x₁x₂ = a．  

当变化时，的取值情况如下表：                       

                          

∵,∴.

∴

        .

同理.

∴

.

          令f（x₁）·f（x₂）＞0,  解得a＞．                                    

          而当时,,

          故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.   …… 11分                            

综上所述，a的取值范围是．                     　 …… 12分