Question

已知一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为

16

27

（1）将长方体的体积V表示为其中一条棱长x的函数关系，并写出定义域；
（2）求体积的最大、最小值；
（3）求体积最大时三棱长度．

Answer 1

分析：（1）根据一个长方体交于一顶点的三条棱长之和为1，其表面积为

16

27

，设三条棱长分别为：x，y，z，则x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

，从而可得函数解析式，由此可确定函数的定义域；
（2）求导函数，求极值点，从而可确定函数的最值；
（3）由第（2）条件最大时x的值，结合x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

，可求三棱长度．

解答：解：（1）设三条棱长分别为：x，y，z，则x+y+z=1，2xy+2yz+2xz=

16

27

…（1分）
得yz=

8

27

-x(y+z)=

8

27

-x(1-x)，
∴V=x(

8

27

-x+x2)=x3-x2+

8

27

x…（4分）
又∵y+z=1-x，yz=

8

27

-x(1-x)，
∴y、z是方程m2-(1-x)m+

8

27

-x+x2=0的两根

△≥0 1-x＞0 8 27 -x+x2＞0

得

1

9

≤x≤

5

9

∴V=x3-x2+

8

27

x（ 

1

9

≤x≤

5

9

）．…（6分）
（2）V′=3x2-2x+

8

27

=0，得x=

2

9

或x=

4

9

…（8分）
当x=

1

9

或x=

4

9

时，V有最小值

16

729

，
当x=

2

9

或x=

5

9

时，V有最大值

20

729

．…（10分）
（3）当V有最大值时，三棱长分别为：

5

9

，

2

9

，

2

9

．  …（12分）

点评：本题i长方体为载体，考查函数关系的建立，考查导数的运用，考查函数的最值，有综合性．