题目内容

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，M、N分别为AA₁、BB₁的中点，求CM与D₁N所成角的余弦值________．

$\text{[math]}$
分析：先建立空间直角坐标系，再写出相关点的坐标，得到异面直线方向向量的坐标，利用向量夹角公式计算所得向量夹角的余弦值，最后得异面直线所成角的余弦值，注意异面直线所成的角范围为（0， $\text{[math]}$ ]，故面直线所成角的余弦值应为向量夹角的余弦值的绝对值．
解答：如图，建立空间直角坐标系

，则A（0，0，0），C（2，2，0），M（0，0，1），N（2，0，1），D₁（0，2，2）
∴ $\text{[math]}$ =（-2，-2，1）， $\text{[math]}$ =（2，-2，-1）
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∵异面直线所成的角范围为（0， $\text{[math]}$ ]
∴CM与D₁N所成角的余弦值为 $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$
点评：本题考察了异面直线所成的角的求法，利用空间直角坐标系和空间向量解决空间角的计算问题，将几何问题转化为代数问题的思想方法