Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

分析：（1）证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，即可证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）连AC交BQ于N，交BD于O，说明PA∥平面MQB，利用PA∥MN，根据三角形相似，即可得到结论；
（3）建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．

解答：（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，
∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）当t=

1

3

时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=

3

3

a，AC=

3

a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴

PM

PC

=

AN

AC

=

1

3

即：PM=

1

3

PC，t=

1

3

；
（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，

3

，0）），Q（0，0，0），P（0，0，

3

）
设平面MQB的法向量为

n

=(x，y，1)，可得

n • QB =0 n • MN =0

，
而PA∥MN，∴

n • QB =0 n • PA =0

，∴y=0，x=

3

∴

n

=(

3

，0，1)
取平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

2

∴二面角M-BQ-C的大小为60°．

点评：本题主要考查了面面垂直、线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．