题目内容

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 $数学公式$ 的最小值是______．

A.
5
B.
6
C.
8
D.
9

D
分析：由圆的方程x²+y²+2x-4y+1=0?圆心O为（-1，2），半径r=2；又直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4?（-1，2）为直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上的点，于是-2a-2b+2=0?a+b=1，代入 $\text{[math]}$ ，应用基本不等式即可．
解答：由x²+y²+2x-4y+1=0得：（x+1）²+（y-2）²=4，
∴该圆的圆心为O（-1，2），半径r=2；
又直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦长为4，
∴直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2），
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，又a＞0，b＞0，
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）•（a+b）=1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +4≥5+2 $\text{[math]}$ =9（当且仅当a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ 时取“=”）．
故选D．
点评：本题考查基本不等式，难点在于对“直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心O（-1，2），”的理解与应用，属于中档题．