Question

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，且S_n+1=S_n+n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=

1

Sn+1-1

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=S_n+1-S_n求得a_n+1，进而求得数列{a_n}的通项公式．
（2）利用叠加法求得S_n，代入bn=

1

Sn+1-1

求得数列{b_n}的通项公式．
（3）利用裂项法求得数列{b_n}的前n项和为T_n，进而利用T_n=2(1-

1

n+1

)＜2．

解答：解：（1）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n，所以an=

1  &n=1 n-1  &n≥2

．
（2）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用叠加法得Sn=1+

n(n-1)

2

，bn=

1

Sn+1-1

=

2

n(n+1)

．
（3）T_n=2[

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

]=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)＜2．

点评：本题主要考查了数列的通项公式和求和问题．考查了基础知识的综合运用．