Question

已知{a_n}是各项均为正数的等差数列，lga₁、lga₂、lga₄成等差数列，又b_n=,n=1,2,3….

（Ⅰ）证明{b_n}为等比数列；

（Ⅱ）如果无穷等比数列{b_n}各项的和S=,求数列{a_n}的首项a₁和公差d.

(注：无穷数列各项的和即当n→∞时数列前n项和的极限)

Answer 1

（Ⅰ）证明：

∵、、成等差数列，    

∴2=+，即.

等差数列的公差为，则,

这样.从而.        

(i) 若，则为常数列，相应也是常数列.

此时是首项为正数，公式为1的等比数列.     

(ii)若，则

，.

这时是首项，公比为的等比数列.综上知，为等比数列.           

（Ⅱ）解：

如果无穷等比数列的公比，则当n→∞时其前项和的极限不存在.

因而，这时公比，.

这样，的前n项和，

则S=Sn==.        由S=得公差=3，首项.