Question

函数y=log_a（x+4）-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由堆属性函数的图象过定点求得A的坐标，代入直线方程得到3m+2n=1，由

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（3m+2n）展开后利用基本不等式求最小值．

解答：解：∵y=log_ax（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（1，0），
∴函数y=log_a（x+4）-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-3，-2），
又点A在直线mx+ny+1=0上，
∴-3m-2n=-1，3m+2n=1．
∵mn＞0，且3m+2n=1，
∴m＞0，n＞0．
∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（3m+2n）=3+2+

2n

m

+

3m

n

≥5+2

2n m • 3m n

=5+2

6

．
当且仅当

3m+2n=1 3m2=2n2

，
即m=1-

6

3

，n=

6

2

-1时取“=”．
故答案为：5+2

6

．

点评：本题考查对数函数的图象与性质，训练了利用基本不等式求函数的最小值，考查了“1”的灵活代换，是中档题．