题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足2acosB=bcosC+ccosB．
（I）求角B的大小；
（II）求函数 $数学公式$ 的最大值及取得最大值时的A值．

解：（Ⅰ）∵2acosB=bcosC+ccosB，由正弦定理 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2R得：
2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC…2′
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，…4′
∴cosB= $\text{[math]}$ ，
∴B= $\text{[math]}$ …6′
（Ⅱ）f（A）=2 $\text{[math]}$ -cos（2A+ $\text{[math]}$ ）
=1-cos（2A+ $\text{[math]}$ ）-cos（2A+ $\text{[math]}$ ）
=1+sin2A- $\text{[math]}$ cos2A+ $\text{[math]}$ sin2A
=1+ $\text{[math]}$ sin2A- $\text{[math]}$ cos2A
=1+ $\text{[math]}$ sin（2A- $\text{[math]}$ ）…9′
∵在△ABC中，B= $\text{[math]}$ ，
∴0＜A＜ $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ ＜2A- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴当2A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即A= $\text{[math]}$ 时，f（A）取最大值．
∴f（A）_max=1+ $\text{[math]}$ …12′
分析：（Ⅰ）由2acosB=bcosC+ccosB结合正弦定理可得cosB= $\text{[math]}$ ，从而可求角B的大小；
（Ⅱ）由降幂公式与辅助角公式可将f（A）整理为：f（A）=1+ $\text{[math]}$ sin（2A- $\text{[math]}$ ），由B= $\text{[math]}$ ，可求得0＜A＜ $\text{[math]}$ ，从而可求f（A）的最大值及取得最大值时的A值．
点评：本题考查三角函数中的恒等变换及正弦定理的应用，突出降幂公式与辅助角公式的应用，属于中档题．