Question

已知函数f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=e^x（ax+b）-x²-4x，
∴f′（x）=e^x（ax+a+b）-2x-4，
∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4
∴f（0）=4，f′（0）=4
∴b=4，a+b=8
∴a=4，b=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e^x（x+1）-x²-4x，f′（x）=4e^x（x+2）-2x-4=4（x+2）（e^x-

1

2

），
令f′（x）=0，得x=-ln2或x=-2
∴x∈（-∞，-2）∪（-ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（-2，-ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-ln2，+∞），单调减区间是（-2，-ln2）
当x=-2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（-2）=4（1-e^-2）．