Question

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）
现有变换公式：可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.
（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程，并求出其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；
（2） 若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；
（3） 在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.

Answer 1

略

（1）设椭圆的标准方程为（），由椭圆定义知焦距，即…①. 又由条件得…②，故由①、②可解得，. 即椭圆的标准方程为. 且椭圆两个焦点的坐标分别为和. 对于变换：，当时，可得 设和分别是由和的坐标由变换公式变换得到.于是，，即的坐标为； 又即的坐标为. （2）设是椭圆在变换下的不动点，则当时， 有，由点，即，得：

      ，因而椭圆的不动点共有两个，分别为和.
（3）由（2）可知，曲线在变换下的不动点需满足.
情形一：据题意，不妨设椭圆方程为（），
则有.
因为，所以恒成立，因此椭圆在变换下的不动点必定存在，且一定有2个不动点.
情形二：设双曲线方程为（），
则有,
因为，故当时，方程无解；
当时，故要使不动点存在，则需，
因此，当且仅当时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.
进一步分类可知，
(i) 当，时，.
即双曲线的焦点在轴上时，需满足时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.
(ii) 当，时，.
即双曲线的焦点在轴上时，需满足时，双曲线在变换下一定有2个不动点.否则不存在不动点.