题目内容
已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）长轴长与短轴长之差是2
-2，且右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为
，点C（m，0）是线段OF上的一个动点（O为坐标原点）．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（
+
）⊥
，并说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| 2 |
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得（
| CA |
| CB |
| BA |
分析：（I）由长轴长与短轴长之差为2
-2，得2a-2b=2
-2，由右焦点F到此椭圆一个短轴端点的距离为
，可得a值；
（Ⅱ）先由（1）求得m的范围，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），由（
+
）⊥
，得（
+
）•
=0①，易知AB的方向向量为（1，k），联立直线方程与椭圆方程构成方程组，消掉y得x的二次方程，由韦达定理、向量运算可用k表示
+
，代入①式得k的方程，有解则存在，否则即不存在；
| 2 |
| 2 |
| 2 |
（Ⅱ）先由（1）求得m的范围，假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），由（
| CA |
| CB |
| BA |
| CA |
| CB |
| BA |
| CA |
| CB |
解答：解：（Ⅰ）由题意可知a-b=
-1，又
=
，a2=b2+c2，
解得a=
，b=c=1，
所以椭圆的方程为：
+y2=1；
（Ⅱ）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入
+y2=1，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
①，y1+y2=k（x1+x2-2）=
，
所以
+
=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）=（
-2m，
），
因为（
+
）⊥
，而AB的方向向量为（1，k），
所以
-2m+
×k=0⇒（1-2m）k2=m，
所以当0≤m＜
时，k=±
，即存在这样的直线l；
当
≤k≤1时，不存在这样的直线l．
| 2 |
| c2+b2 |
| 2 |
解得a=
| 2 |
所以椭圆的方程为：
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）由（1）得F（1，0），所以0≤m≤1，
假设存在满足题意的直线l，设l的方程为y=k（x-1），代入
| x2 |
| 2 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 4k2 |
| 2k2+1 |
| 2k2-2 |
| 2k2+1 |
| -2k |
| 2k2+1 |
所以
| CA |
| CB |
| 4k2 |
| 2k2+1 |
| -2k |
| 2k2+1 |
因为（
| CA |
| CB |
| BA |
所以
| 4k2 |
| 2k2+1 |
| -2k |
| 2k2+1 |
所以当0≤m＜
| 1 |
| 2 |
|
当
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生的探究能力，考查学生对问题的分析解决能力，存在性问题常假设存在然后由此出发进行推理．
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