题目内容
函数g（x）=ax3-x在（-∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围 ．
【答案】分析：求导数，得g'（x）=3ax2-1．由题意g'（x）≤0在（-∞，+∞）内恒成立，即不等式3ax2≤1在（-∞，+∞）内恒成立，因此对a的正负加以，即可得到满足条件的实数a的取值范围．
解答：解：求导数，得g'（x）=3ax2-1
∵g（x）=ax3-x在（-∞，+∞）内是减函数，
∴g'（x）≤0在（-∞，+∞）内恒成立，
即3ax2-1≤0在（-∞，+∞）内恒成立，变形得3ax2≤1
当a＞0时，3ax2没有最大值，3ax2≤1不能恒成立；当a≤0时，3ax2≤0，可得3ax2≤1恒成立
因此实数a的取值范围是（-∞，0]
故答案为：（-∞，0]
点评：本题给出三次多项式函数在R上为减函数，求参数a的范围．着重考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．
解答：解：求导数，得g'（x）=3ax2-1
∵g（x）=ax3-x在（-∞，+∞）内是减函数，
∴g'（x）≤0在（-∞，+∞）内恒成立，
即3ax2-1≤0在（-∞，+∞）内恒成立，变形得3ax2≤1
当a＞0时，3ax2没有最大值，3ax2≤1不能恒成立；当a≤0时，3ax2≤0，可得3ax2≤1恒成立
因此实数a的取值范围是（-∞，0]
故答案为：（-∞，0]
点评：本题给出三次多项式函数在R上为减函数，求参数a的范围．着重考查了利用导数研究函数的单调性和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．
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