题目内容
设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为4，则
+
的最小值为 ．
|
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
分析：画出约束条件表示的可行域，通过目标函数的最值，求出a、b的关系，利用基本不等式求出表达式的最小值．
解答：
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值4，
即4a+6b=4，即a+
b=1．
所以
+
=（
+
）（a+
b）
=
+
+
≥
+2
=
+6=
．
当且仅当
=
，且a+
b=1，即a=b=
时取等号．
故答案为：
．
解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值4，
即4a+6b=4，即a+
| 3 |
| 2 |
所以
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 3 |
| 2 |
=
| 13 |
| 2 |
| 3b |
| a |
| 3a |
| b |
≥
| 13 |
| 2 |
|
=
| 13 |
| 2 |
| 25 |
| 2 |
当且仅当
| 3b |
| a |
| 3a |
| b |
| 3 |
| 2 |
| 2 |
| 5 |
故答案为：
| 25 |
| 2 |
点评：本题考查简单的线性规划，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
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