Question

已知关于x的实系数一元二次方程ax²+bx+c=0有两个虚数根x₁、x₂，若|x₁-x₂|=2，且2+ai=c-1+i，求方程的根x₁、x₂．

Answer 1

分析：根据2+ai=c-1+i，a，c是实数，可求出a，c的值，再根据韦达定理，求出x1+x1，x1x2，用含b的式子表示，再代入|x₁-x₂|=2中，即可求出b值，把a，b，c的值代入方程ax²+bx+c=0，利用求根公式就可求出x₁、x₂．

解答：解 由题可知，a、b、c是实数，又2+ai=c-1+i，∴

a=1 c=3

．
∵x₁、x₂是方程x²+bx+3=0的两个虚数根，|x₁-x₂|=2
∴

△=b2-12＜0 x1+x2=-b x1x2=3 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

．　　　　　　　　　
∴|x₁-x₂|²=|（x₁-x₂）²-4x₁x₂|，即|b²-12|=4，解得b2=8(b2=16舍去)，b=±2

2

．
当b=2

2

时，解x2+2

2

x+3=0，得x=

-2 2 ± 4 i

2

=-

2

±i，
即方程的根为-

2

+i和-

2

-i．                       
当b=-2

2

时，解x2-2

2

x+3=0，得x=

2 2 ± 4 i

2

=

2

±i，
即方程的根为

2

+i和

2

-i．

点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题．