Question

已知f(x)=(1+x) ^m+(1+2x)ⁿ,(m,n∈N)的展开式中x的系数为11，求：

（1）x²的系数的最小值.

(2)当x²的系数取得最小值时，求f(x)展开式中的x的奇次幂项的系数之和.

Answer 1

解析：（1）由已知+2=11,

∴m+2n=11,x²的系数为=(m-)²+,∵m∈N

∴m=5时，x²的系数取得最小值22，此时n=3.

(2)由（1）知，当x²系数取得最小值22时n=3.

∴f(x)=(1+x)⁵+(1+2x)³

设这时f(x)的展开式为f(x)=a₀+a₁x+…+a₅x⁵

令x=1,a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=2⁵+3³

令x=-1,a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=-1

相减得2（a₁+a₃+a₅）=60

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.