题目内容
设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f'（x）的图象经过点
，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．
，如图所示，（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．
解：∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（﹣2，0），
，∴
∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减，
由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，
解得a=﹣1
∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x
（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，
在
上单调递增，在
上单调递减
且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8
∴f（x）min=f（3）=﹣33
﹣33≥m2﹣14m，3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．
，∴∴f（x）=ax3+2ax2﹣4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，
在
上单调递增，在上单调递减，由f（x）极小值=f（﹣2）=a（﹣2）3+2a（﹣2）2﹣4a（﹣2）=﹣8，
解得a=﹣1
∴f（x）=﹣x3﹣2x2+4x
（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m2﹣14m恒成立，只需f（x）min≥m2﹣14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，
在
上单调递增，在上单调递减且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣33﹣2×32+4×3=﹣33＜﹣8
∴f（x）min=f（3）=﹣33
﹣33≥m2﹣14m，3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．
练习册系列答案
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