Question

定义在R上的单调函数y=f(x)满足f(2)=3,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

(1)试求f(0)的值并证明函数y=f(x)为奇函数.

(2)若f(m·3^x)+f(3^x-9^x)<3对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

 (1)因为f(x+y)=f(x)+f(y),①

令x=y=0,代入①式,得

f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.

令y=-x,代入①式,得f(x-x)=f(x)+f(-x),

又f(0)=0,则有0=f(x)+f(-x),

即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立,所以f(x)是奇函数.

(2)因为f(2)=3,即f(2)>f(0),又f(x)在R上是单调函数,所以f(x)在R上是增函数,

因为f(m·3^x)+f(3^x-9^x)<3,可化为:f((m+1)·3^x-9^x)<f(2),

所以(m+1)3^x-9^x<2对任意x∈R恒成立.

即9^x-(m+1)3^x+2>0对任意x∈R恒成立.

令t=3^x,则t>0,

问题等价于:t²-(1+m)t+2>0在(0,+∞)上恒成立,

令g(t)=t²-(m+1)t+2,其对称轴方程为t=,

当<0,即m<-1时,g(t)在(0,+∞)上递增且g(0)=2>0,所以m<-1满足题意.

当≥0时,即m≥-1时,g(t)_min=g>0,

所以-1≤m<2-1.

综上所述,实数m的取值范围为m<2-1.