Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
（1）若b_n=a_n+1-2a_n，求b_n；
（2）若c_n=

1

an+1-2an

，求{c_n}的前6项和T₆；
（3）若d_n=

an

2n

，求数列{d_n}的通项．

Answer 1

分析：（1）a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）⇒S_n+2=4a_n+1+2，两式作差，结合题意即可求得b_n+1=2b_n，即{b_n}是公比为2的等比数列，再求得b₁即可求b_n；
（2）可求得c_n=

1

3

•(

1

2

)n-1，即{c_n}是首项为

1

3

，公比为

1

2

的等比数列，于是可求{c_n}的前6项和T₆；
（3）依照d_n=

an

2n

，可证求数列{d_n}为公差是

3

4

的等差数列，从而可求其通项．

解答：解（1）∵a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
∴S_n+2=4a_n+1+2，
∴a_n+2=S_n+2-S_n+1=4（a_n+1-a_n），
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-a_n），
即b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是公比为2的等比数列，且b₁=a₂-2a₁…（3分）
∵a₁=1，a₂+a₁=S₂，即a₂+a₁=4a₁+2，
∴a₂=3a₁+2=5，
∴b₁=5-2=3
∴b_n=3•2^n-1…（5分）
（2）c_n=

1

an+1-2an

=

1

bn

=

1

3•2n-1

，
∴c₁=

1

3

，
∴c_n=

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴{c_n}是首项为

1

3

，公比为

1

2

的等比数列…（8分）
∴T₆=

1 3 [1-( 1 2 )6]

1- 1 2

=

2

3

（1-

1

64

）=

61

96

…（10分）
（3）∵d_n=

an

2n

，b_n=3•2^n-1，
∴d_n+1-d_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

=

3×3n-1

2n+1

=

3

4

，
∴{d_n}是等差数列
d_n=

3n

4

-

1

4

．…（14分）

点评：本题考查等比数列的前n项和，考查等比数列与等差数列的关系的确定，突出考查推理运算能力，属于难题．