Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-

1

2

．
（I）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（II）设g（x）=kx+1，对?x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求实数k的取值范围；
（III）设b_n=

ln(n+1)

n3

，证明：b₁+b₂+…+b_n＜1+ln2（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知：f′(x)=

1

x

-a（x＞0），
∵函数f（x）=lnx-ax+1在x=2处的切线斜率为-

1

2

．
∴f′(2)=

1

2

-a=-

1

2

，∴a=1．
∴f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f （x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f （x）为减函数，
∴f （x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．  …（5分）
（Ⅱ）?x∈（0，+∞），f （x）≤g（x），即lnx-（k+1）x≤0恒成立，
设h（x）=lnx-（k+1）x，有h′(x)=

1-(k+1)x

x

．
①当k+1≤0，即k≤-1时，h′（x）＞0，此时h（1）=ln1-（k+1）≥0与h（x）≤0矛盾．
②当k+1＞0，即k＞-1时，令h′（x）=0，解得x=

1

k+1

，
∴x∈(0，

1

k+1

)，h′（x）＞0，h（x）为增函数，x∈(

1

k+1

，+∞)，h′（x）＜0，h（x）为减函数，
∴h（x）_max=h（

1

k+1

）=ln

1

k+1

-1≤0，
即ln（k+1）≥-1，解得k≥

1

e

-1．
综合k＞-1，知k≥

1

e

-1．
∴综上所述，k的取值范围为[

1

e

-1，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知f （x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
∴f （x）≤f （1）=0，∴lnx≤x-1．
当n=1时，b₁=ln（1+1）=ln2，
当n≥2时，有ln（n+1）＜n，
∵b_n=

ln(n+1)

n3

＜

n

n3

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+（

1

2-1

-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=ln2+（1-

1

n

）＜1+ln2．…（14分）