Question

（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角所在平面互相垂直，F为BC的中点，,AE∥CD,.

 

 

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF，

又∵EA，∴EAPF，……………………2分

∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，

又∵面平面，

∴AF∥面BDE.…………………………………………4分

（Ⅱ）以CA、CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，建立如图所示坐标系.…………………5分

 

 

由可得：A（2，0，0，），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2）

则.……………………………………………6分

∵面面，面面，∴面

∴是面的一个法向量.……………………………………………8分

设面的一个法向量n=(x,y,z),则n，n.

∴即整理，得令，则

所以n=(1,1,2)是面的一个法向量.…………………………………………10分

故.

图形可知二面角的平面角，所以其余弦值为.……………………12分

 

 

【解析】略