Question

（2012•张掖模拟）已知{b_n}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，且a₁=1，an=bn•(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，求出公比与首项，推出通项公式．
（2）利用（1）推出an=bn•(

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn-1

)的表达式，通过错位相减法求数列{na_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）依S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，
得

b1(1+q+q2)=14 6b1q=b1+b1q2+14

（2分）
从而2q²-5q+2=0得

q=2 b1=2

故b_n=2ⁿ．（4分）
（2）当n≥2时，an=2n•(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=2ⁿ-2
则S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1+2（2²-2）+3（2³-2）+…+n（2ⁿ-2）
=1+（2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-2（2+3+…+n）（1分）
令Tn=2×22+3×23+…+n×2n2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1
得-Tn=8+

8(1-2n-2)

1-2

-n×2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹
故Tn=(n-1)•2n+1．（3分）
于是S_n=1+(n-1)•2n+1-2×

(n-1)(n+2)

2

=（n-1）•2ⁿ⁺¹-n²-n+3．（2分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列通项公式的求法，前n项和的求法，考查分析问题解决问题的能力．