Question

证明切比雪不等式：若a₁≤a₂≤…≤a_n且b₁≤b₂≤…≤b_n,则≥()·().

Answer 1

思路分析：排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.

证明：由排序不等式有：

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n,

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≥a₁b₂+a₂b₃+…+a_nb₁,

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≥a₁b₃+a₂b₄+…+a_nb₂，

……

a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n≥a₁b_n+a₂b₁+…+a_nb_n-1.

将以上式子相加得：

n(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)≥a₁(b₁+b₂+…+b_n)+a₂(b₁+b₂+…+b_n)+…+a_n(b₁+b₂+…+b_n),

∴≥)·().

巧妙变式

a₁≤a₂≤…≤a_n且b₁≥b₂≥…≥b_n,则≤()·().