Question

（2013•济宁一模）如图，在四棱锥S-ABC中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD，SA=AD，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN．

Answer 1

分析：（I）连接BD，交AC于点O，连接MO，利用MO为△SDB的中位线，利用线面平行的判断定理即可证得结论；
（II）依题意，可证得CD⊥平面SAD，从而可证CD⊥AM；由SA=AD，点M是SD的中点可证得AM⊥SD，而CD∩SD=D，从而AM⊥平面SCD⇒AM⊥SC，进一步可证SC⊥平面AMN，利用面面垂直的判断定理即可证得结论．

解答：证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接MO
∵ABCD为矩形，
∴O为BD中点
又M为SD中点，
∴MO∥SB   …（3分）
MO?平面ACM，SB?平面AC…（4分）
∴SB∥平面ACM   …（5分）
（Ⅱ）∵SA⊥平面ABCD，
∴SA⊥CD
∵ABCD为矩形，
∴CD⊥AD，且SA∩AD=A，
∴CD⊥平面SAD，
∴CD⊥AM…（8分）
∵SA=AD，M为SD的中点，
∴AM⊥SD，且CD∩SD=D，
∴AM⊥平面SCD，
∴AM⊥SC   …（10分）
又∵SC⊥AN，且AN∩AM=A，
∴SC⊥平面AMN．
∵SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查直线与平面平行的判定，（Ⅰ）中证得MO为△SDB的中位线，（Ⅱ）中证得AM⊥平面SCD是关键，考查分析推理与证明的能力，属于中档题．