Question

已知动圆过定点，且与直线相切，其中。

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

（Ⅰ）（轨迹方程为；（Ⅱ）当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点。

解析:

（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；

（II）如图，设，由题意得（否则）且所以直线的斜率存在，设其方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知①

（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以。因此直线的方程可表示为，即，所以直线恒过定点。

（2）当时，由，

得==，

将①式代入上式整理化简可得：，所以，

此时，直线的方程可表示为即，所以直线恒过定点。

所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点。

点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。