题目内容
(本小题满分15分)
已知
是实数，
是抛物线
的焦点，直线
．
（1）若
,且在直线
上，求抛物线
的方程；
（2）当
时，设直线与抛物线交于
两点，过
分别作抛物线的准线的垂线，垂足为
，连
交
轴于点
，连结
交轴于点
．
①证明：
⊥
；
②若与交于点
，记△
、四边形
、△
的面积分别为
，问
是否存在实数
，使
成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(本小题满分15分)
解：（1）当
时，直线
过定点
．
∴抛物线
的方程是
…………………………4分
（2）①设
．联立 
，消去
，得
，△
…6分
由已知，
，于是
同理
⊥
……………………9分
①方法二：
由抛物线定义知，∵
又∵
…………………5分
……6分
同理FB1为
BFO的平分线，
A1FB1=900 ……7分
又等腰
AA1F中，AM为中线，AM
A1F
同理BNB1F ……………8分
AQB=900即AMBN ……………9分
②因
，所以，
，得
∥.同理，
∥
，而⊥，∴四边形
是一个矩形．……………………11分
∴ 
,而
……………………13分
假设存在实数
使
成立，则有
．
故存在实数
，使成立．…………15分
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的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．