Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和满足S_n＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由6Sn=

a

2 n

+3an+2，知6Sn-1=

a

2 n-1

+3an-1+2，两式作差，即可证明{a_n}为等差数列，从而求出a_n．
（2）由a_n=3n-1，推导出b_n=

1

an•an+1

=

1

3

（

1

3n-1

-

1

3n+2

），由此利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项．

解答：解：（1）∵6Sn=

a

2 n

+3an+2，
∴6Sn-1=

a

2 n-1

+3an-1+2，
∴6an=

a

2 n

+3an-

a

2 n-1

-3an-1，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=3，∴{a_n}为等差数列，…（3分）
∵6S1=

a

2 1

+3a1+2，
∴

a

2 1

-3a1+2=0，
∵a₁＞1，∴a₁=2，
∴a_n=3n-1，…（6分）
（2）∵a_n=3n-1，
∴b_n=

1

an•an+1

=

1

(3n-1)(3n+2)

=

1

3

（

1

3n-1

-

1

3n+2

）．…（9分）
∴数列{b_n}的前n项和
T_n=

1

3

[（

1

2

-

1

5

）+（

1

5

-

1

8

）+…+（

1

3n-1

-

1

3n+2

）]
=

1

3

(

1

2

-

1

3n+2

)
=

n

6n+4

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法的合理运用．