题目内容

已知数列{a_n} 的各项全为正数，观察流程图，当k=2时，S= $数学公式$ ；当k=5 时，S= $数学公式$ ．
（1）写出k=4时，S的表达式；（用a₁，a₂，a₃，a₄，∧等表示）
（2）求{a_n} 的通项公式；
（3）令b_n=2ⁿa_n，求b₁+b₂+…+b_n．

解：（1）当k=4时，S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
（2）由图知：数列a_n是一个等差数列，设公差为d，（d≠0）
当k=4时，S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
当k=4时，S= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 解得： $\text{[math]}$
∴a_n=3n-2．
（3）设T_n=b₁+b₂+…+b_n．
则T_n=1•2¹+4•2²+…+（3n-2）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+4•2³+…+（3n-2）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=1•2¹+3•2²+…+3•2ⁿ-（3n-2）•2¹⁺ⁿ，
∴T_n=（3n-5）•2ⁿ⁺¹+10．
分析：（1）经过分析，程序框图为当型循环结构，按照框图题意分析求出当k=4时，S的值；{a_n}的通项．
（2）由图知：数列a_n是一个等差数列，设公差为d，（d≠0）求出{a_n}的通项邓可．
（3）根据（2）的结论，得到b_{n=（3n-2）•2ⁿ}，然后代入求b₁+b₂+…+b_m的值利用错位相消法求和即可
点评：本题考查程序框图，数列的概念及简单表示方法，数列的求和，通过对知识的熟练把握，分别进行求值，属于基础题．