Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-n2+7n．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（2）令b_n=

4

4an

，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可求通项，令a_n≥0可得n的范围，从而可求和的最大项
（2）由数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和

解答：解：（1）因为Sn=-n2+7n，
所以当n=1时，a₁=S₁=6，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，
∴an=-2n+8(n∈N*)（3分）
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，
∴当n=3或n=4时，S_n取得最大值12
综上，an=-2n+8(n∈N*)，
当n=3或n=4时，S_n取得最大值12  （6分）
（2）由题意得b1=

4	46

=8，bn=

4	4an

=

4	(2-n+4)4

=2-n+4（8分）
所以

bn+1

bn

=

1

2

，即数列{b_n}是首项为8，公比是

1

2

的等比数列
∴Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4①

1

2

Tn=1×22+2×2 +…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3②
①-②得：

1

2

Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3（10分）
∴Tn=

16[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•24-n=32-(2+n)24-n（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，在数列的通项公式的求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．