Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量

m

=(2cos

A

2

， sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

， -2sin

A

2

)，

m

•

n

=-1，
（Ⅰ） 求cosA的值；
（Ⅱ） 若a=2

3

，b=2，求c的值．

Answer 1

分析：（I）利用向量的数量积公式化简，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值；
（II）先根据（I）求出角A，然后利用三角形中的正弦定理求出角B，最后利用三角形的内角和为180°求出角C，从而求出c的值．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=(2cos

A

2

， sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

， -2sin

A

2

)，

m

•

n

=-1，
∴2cos²

A

2

-2sin²

A

2

=-1．（2分）
∴cosA=-

1

2

．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosA=-

1

2

，且0＜A＜π，∴A=

2π

3

．（6分）
∵a=2

3

，b=2，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，即

2 3

sin 2π 3

=

2

sinB

，
∴sinB=

1

2

．（8分）
∵0＜B＜π，B＜A，∴B=

π

6

．（10分）
∴C=π-A-B=

π

6

．∴c=b=2．（12分）

点评：本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围，属于中档题