Question

【题目】我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.

（1）试证明这个不等式；

（2）设函数，且在定义域内恒有，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）1

【解析】

（1）方法1：应用数形结合思想方法；方法2：构造函数利用导函数求解函数最大值,使其小于等于0；

（2）函数定义域是，首先将转化为，对x分类（和）后分离参数，利用（1）中的结论“灵魂不等式”求解a的值.

（1）法1（图象法）：在同一坐标系下作出曲线和直线，发现它们均经过定点，且，即直线是曲线在定点处的切线.

故，当且仅当时等号成立）.

法2（导数法）：令，则.

显然在内单增，在内单减， 因此

于是.即,当且仅当时等号成立.

（2）函数的定义域是.

等价于，

即:

当时，. 由灵魂不等式:知， ，

因此

当时，. 由灵魂不等式:知， ，

因此 当时，等号成立,

综上可知，实数的值是.