Question

函数f（x）=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx（a≠0）
（1）b=2时，函数h（x）=f（x）-g（x）存在减区间，求a的取值范围
（2）函数f（x）的图象与函数g（x）的图象交于P，Q两点，过PQ中点作x轴的垂线l，l与曲线y=f（x），y=g（x）分别交于M，N点，设曲线y=f（x）在M处的切线为l₁，曲线y=g（x）在N处的切线为l₂，证明l₁∥l₂．

Answer 1

分析：（1）把b=2代入可得h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，而函数h（x）=f（x）-g（x）存在减区间等价于h′(x)=

1

x

-ax-2＜0在x＞0时解集非空集，分类讨论可得；
（2）假设存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，从而有

2(x1-x2)

x1+x2

=ln(

x1

x2

)，由导数法考虑h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

t∈（0，1）的单调性可得．

解答：解：（1）当b=2时，h(x)=lnx-

1

2

ax2-2x，
函数h（x）=f（x）-g（x）存在减区间，等价于h′(x)=

1

x

-ax-2＜0，在x＞0时解集非空集，
即关于x的不等式ax²+2x-1＞0（a≠0）有解，
当a＞0时，ax²+2x-1＞0显然有解；
而当a＜0时，只需△=4+4a＞0，解得-1＜a＜0，
∴a的取值范围为：a＞0或-1＜a＜0              …（7分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设0＜x₁＜x₂，由题意可得M、N的横坐标

x1+x2

2

，
则M点处的导数值为

1

x

|x=

x1+x2

2

=

2

x1+x2

，N点处的导数值为ax+b|x=

x1+x2

2

=

a(x1+x2)

2

+b，
假设存在0＜x₁＜x₂使l₁∥l₂，即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b，
∴

2(x1-x2)

x1+x2

=

a

2

(

x

2 1

-

x

2 2

)+b(x1-x2)=(

1

2

ax12+bx1)-(

1

2

ax22+bx2)=f（x₁）-f（x₂）=ln(

x1

x2

)，
假设

2(t-1)

t+1

=lnt（*），(t=

x1

x2

∈(0，1))…（10分）
考虑h(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

t∈（0，1）的单调性，
∵h′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
可知h（t）是t∈（0，1）的增函数（也是R⁺上增函数），故h（t）＜h（1）=0，
因此　

2(t-1)

t+1

＞lnt，
此结论与题设（*）矛盾，
∴l₁∥l₂…（14分）

点评：本题考查函数与导数的综合应用，涉及函数的恒成立问题以及构造函数利用单调性证明问题，属中档题．