Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）问数列{a_n}中是否存在某三项，它们可以构成一个等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁=2a₁-3可求a₁，当n≥2时，由

Sn=2an-3n Sn-1=2an-1-3(n-1)

，两式相减可得a_n=2a_n-1+3，利用构造等比数列可求
（2）由（1）知a_n+3=6×2ⁿa_n=3（2ⁿ-1），假设存在某三项，不妨设a_x，a_y，a_z成等差数列，其中x＜y＜z，x，y，z为正整数则a_x+a_z=2a_y，即2^x+2^z=2×2^y，从而可判断x，y，z是否存在

解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3
当n≥2时，由

Sn=2an-3n Sn-1=2an-1-3(n-1)

，两式相减可得a_n=2a_n-2a_n-1-3
即a_n=2a_n-1+3，所以a_n+3=2（a_n-1+3），又a₁+3=6
所以数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知a_n+3=6×2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
假设存在某三项，不妨设a_x，a_y，a_z成等差数列，其中x＜y＜z，x，y，z为正正数
则a_x+a_z=2a_y
即3×（2^x-1）+3×（2^z-1）=2×3×（2^y-1）
2^x+2^z=2×2^y
等式两边同除以2^y，得2^x-y+2^z-y=2…（11分）
因为x-y＜0，z-y≥1，所以0＜2^x-y＜1，2^z-y≥2…（13分）
所以2^x-y+2^z-y＞2，这与2^x-y+2^z-y=2矛盾、
假设不存在，故数列{a_n}中不存在某三项，使它们可以构成一个等差数列、…（14分）

点评：本题主要考查了利用递推公式求解数列的通项公式，等比数列的通项公式，等差中项的应用，属于知识的简单综合应用．