题目内容

（2011•上海）有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是
π
3
π
3
．
分析：由图形补出正方体，可得所求的角即为ED与CD所成的角，在△CDE中，由余弦定理可得答案．
解答：解：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，
如图：
可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成的角，
设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD=DE=
2
，EC=
6
，
由余弦定理可得cos∠CDE=
CD2+DE2-EC2
2×CD×DE
=-
1
2
，故∠CDE=
2π
3
，
故AB与CD所成的角为
π
3

故答案为：
π
3
点评：本题考查异面直线所成的角，补出正方体是解决问题的关键，属中档题．
练习册系列答案
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（2011•上海模拟）如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的对应过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上（线段AB）的点M（如图1）；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上；点A的坐标为（0，1）（如图3），当点M从A到B是逆时针运动时，图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），按此对应法则确定的函数使得m与n对应，即
f（m）=n．

对于这个函数y=f（x），有下列命题：
①f(
1
4
)=-1；  ②f（x）的图象关于(
1
2
，0)对称；  ③若f(x)=
3
，则x=
5
6
；  ④f（x）在（0，1）上单调递增．
其中正确的命题个数是（　　）
（2011•上海）对于给定首项x0＞
3a
（a＞0），由递推公式xn+1=
1
2
（xn+
a
xn
）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞
3a
，用数列{xn}可以计算
3a
的近似值．
（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出xn，xn+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：xn-xn+1＜
1
2
（xn-1-xn）；
（3）当x0∈[5，10]时，用数列{xn}计算
3100
的近似值，要求|xn-xn+1|＜10-4，请你估计n，并说明理由．
（2011•上海模拟）设
a
，
b
，
c
是平面内互不平行的三个向量，x∈R，有下列命题：
①方程
a
x2+
b
x+
c
=
0
(
a
≠
0
)不可能有两个不同的实数解；
②方程
a
x2+
b
x+
c
=
0
(
a
≠
0
)有实数解的充要条件是
b
2-4
a
•
c
≥0；
③方程
a
2x2+2
a
•
b
x+
b
2=0有唯一的实数解x=-
b
a
；
④方程
a
2x2+2
a
•
b
x+
b
2=0没有实数解．
其中真命题有
①④
①④
．（写出所有真命题的序号）
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