Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=

1

2

，an+1=

n+1

2n

an．
（1）证明数列{

an

n

}是等比数列；
（2）求通项a_n与前n项和S_n；
（3）设bn=n(2-Sn)，n∈N*，若集合M={n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的定义证明数列{

an

n

}是等比数列；
（2）根据等比数列的定义求通项a_n与前n项和S_n；
（3）求出b_n的通项公式，根据条件即可求出λ的取值范围．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an+1=

n+1

2n

an．
∴当n∈N^•时，

an

n

≠0．
又

a1

1

=

1

2

，

an+1

n+1

：

an

n

=

1

2

为常数，
∴{

an

n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列．
（2）由{

an

n

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列得，

an

n

=

1

2

?(

1

2

)n-1=(

1

2

)n，
∴an=n?(

1

2

)n．由错项相减得Sn=2-(

1

2

)n-1-n?(

1

2

)n．
（3）∵bn=n(2-Sn)，n∈N*，
∴bn=n(

1

2

)n-1+n2?(

1

2

)n，
由于bn+1-bn=(3-n2)(

1

2

)n+1，
∴b₂＞b₁，b₂＞b₃＞b₄???，
∵集合M={n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，且b1=b4=

3

2

，b2=2，b3=

15

8

，b5=

35

32

，
∴

35

32

＜λ≤

3

2

．

点评：本题主要考查等比数列的概念、数列的通项公式及前n项和，考查学生的计算能力．